penurunan rumus E=mc²

Menurut konsep energi, usaha = gaya dikali perpindahan. Dituliskan dalam bentuk matematis,

W = F s

tinjau elemen kecil usaha dW dan elemen kecil perpindahan ds, sehingga bentuk persamaan di atas menjadi:

dW = F ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (persamaan 1)

menurut hukum kekekalan momentum, gaya adalah perubahan momentum tiap satuan waktu,

F = dP/dt

F = d(Mv)/dt

F = M (dv/dt) + v (dM/dt)

selama pergerakan benda, tidak terjadi penyusutan atau penambahan massa benda menurut fungsi waktu, artinya

dM/dt = 0

F = M (dv/dt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (persamaan 2)

substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1,

dW = F ds

dW = M (dv/dt) ds

gunakan aturan rantai,

dW = M dv (ds/dt)

ingat bahwa v = ds/dt

dW = M v dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (persamaan 3)

untuk mekanika klasik (Newton), integrasi persamaan 3 akan diperoleh energi benda yang dimiliki selama pergerakannya

∫ dW = M ∫ v dv

W = ½ M v² + konstan

pada saat energi W = 0 pada saat kecepatan v = 0

0 = ½ m (0)² + konstan

konstan = 0

W = ½ m v²

persamaan ini lebih dikenal dengan energi kinetik.


tetapi untuk mekanika relativistik, menurut Einstein, massa akan berubah sebagi fungsi dari kecepatan. Jika massa diam adalah m, maka massa benda pada saat bergerak dengan kecepatan v adalah:

M = m/√(1 - v²/c²) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (persamaan 4)

substitusikan persamaan 4 ke persamaan 3

dW = M v dv

dW = mv/√(1 - v²/c²) dv

dW = (-c²/2) m/√(1 - v²/c²) d(1 - v²/c²)

∫ dW = (-mc²/2) ∫1/√(1 - v²/c²) d(1 - v²/c²)

W = -½ mc² (2√(1 - v²/c²)) + KONSTANT

W = - mc² √(1 - v²/c²) + KONSTANT

usaha W = 0 pada saat kecepatan v = 0

kondisi ini dinamakan energi diam E,

0 = - mc² √(1 - 0²/c²) + KONSTANT

KONSTANT = mc²

E = mc²

Sumber : wikipedia

Posted in Referensi